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环球资讯:对数:所有天文学家都应该感谢的数学发现

数世纪以来,不管对科学家还是对工程师,对数表都是非常实用的工具。现在,因与指数函数的密切联系,对数仍充满了极强的数学吸引力。

撰文 | 理查德·埃尔威斯(Richard Elwes)


【资料图】

翻译 | 齐瑞红、房超、于幻

在过去的很多年中,很多人习惯地把对数表放在手边用来帮助自己进行乘法和除法运算。在20世纪后半叶,便携计算器最终将对数表推入历史。但是,在级数和微积分的深层数学领域中,那引人入胜的发现确保了对数本身永不过时。

在16世纪后期,约翰·纳皮尔(John Napier)开始研究他最初称为“人造数”的数。他发现了一种方法,可以将复杂的乘法运算转化为相当简单的加法运算。为了求两个数的乘积,如4587和1962,他首先计算这两个数的人造数并求它们的和。然后将这两个人造数的和进行反人造数运算,即计算原数使得它的人造数就是这个和。虽然这个过程没有涉及乘法运算,但所得的结果确实是原来那两个数的乘积——8 999 694。

地震仪用来测量地震的强度。衡量地震强度的、国际上通用的里氏震级表正是对数运算:测定为3 级的地震强度是测定为2级的地震强度的10倍。

纳皮尔的对数

不久后,纳皮尔给他的人造数起了一个新的、更好的名字——对数。今天,我们明白对数只是幂运算的逆运算。幂运算指某数与它本身重复相乘,所以,“2的3次方”指3个2相乘,

布里格斯的对数表

在约翰·纳皮尔发明对数后不久,亨利·布里格斯(Henry Briggs)开始把它转变成一个有用的工具。因为我们应用十进制数制来表示数,布里格斯选择以10为底计算对数是比较方便的,并开始着手制作一个“对数表” ——从1到1000 的所有整数的对数。在几年时间里,布里格斯和其他数学家将这个表推广到一个更大的数集上。

当然,对于大部分整数来说,它们的对数都不是整数,所以研究者不得不给出他们求得的对数的精确程度。在18世纪后期,加斯帕德·德普罗尼(Gaspard de Prony)监督制作了一个特殊的数学用表,这个数学用表多达17大本双开卷,包括最大到200 000的正整数的对数,精确到小数点后第19位(对于较大的数,精确到第24位)。

取自约翰·纳皮尔 1614 年的专著《奇妙的对数表的描述》里用的一张最早的对数表。约翰·纳皮尔研究的是后来被称为“自然对数”的对数,而亨利·布里格斯研究的是以10为底的对数——后来被称为“常用对数” 。

自然对数

自从纳皮尔发现对数以来,对数学家来说对数非常有用。就像杰出的科学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)所说的:“对数的发现通过节省劳动使天文学家的寿命翻倍。”但是,对数的数学意义比它作为计算工具的意义更为重要和深远。在1650年,皮耶特罗·曼戈里(Pietro Mengoli)首次意识到这一点。他的有关级数的研究与他在对数方面的兴趣出乎意料地结合在一起。

这个交错级数有一个确定的极限,约等于0.693147。曼戈里证明了这个极限数就是 2 的自然对数(通常记作In2,虽然读成log2)。自然对数像其他的任何对数一样,只是对底数有一个特殊选择,以e为底数,e约等于 2.71828。确实,正是通过自然对数和曼戈里的结论,数学中最重要的函数之一——指数函数,开始崭露头角。

的确,对更准确的对数表的寻找有力地推动了抽象级数理论的发展。在1668年,尼古拉斯·墨卡托(Nikolaus Mercator)出版了名为《对数技术》的著作, 在此著作中,他发现了自然对数的级数公式:

这个美丽的定理正是曼戈里结果的推广,曼戈里的结果对应于x=1的特殊情形。

微积分和对数

墨卡托的定理暗示了自然对数的“自然”,但是一个更完整的故事需要用牛顿和莱布尼茨的微积分理论来诉说。

本文经授权摘自《图解数学简史:数学世界中不可不知的100个重大突破》第26篇《对数》。

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关键词: 自然对数 布里格斯 地震强度

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