古希腊数学家、哲学家泰勒斯是历史上第一位留名的数学家。在后世的文献中，记载了他的许多壮举，例如计算金字塔的高度，证明泰勒斯定理，引入了许多几何命题等等。泰勒斯是学识渊博的智者，是米利都学派的创始人，苏格拉底时代“七贤之首”。相传他是第一个问出“什么是世界本源”问题的人。更重要的是，泰勒斯用理性的思想，摆脱神话预言，通过自然现象寻求真理，这最终引导人类文明迈向了科学之路。
撰文 | 蔡天新
(资料图片仅供参考)
不懂几何学的请勿入内。
——柏拉图
1米利都的泰勒斯
在人类文明史上不乏接踵而至的巧合。例如，1616年4月23日，英语世界最伟大的作家莎士比亚和西班牙语世界最伟大的作家塞万提斯同日辞世，这个日子后来成为“世界读书日”。此外，意大利画家、“文艺复兴时期最完美的代表”达·芬奇出生于儒略历1452年4月15日，换算成公历也是4月23日。1642年1月8日，意大利最伟大的科学家伽利略去世，不出一年，英国最伟大的科学家牛顿出生。而更早一些时候，古希腊的数学家和哲学家人才辈出，就如同文艺复兴时期意大利的作家和艺术家那样层出不穷。
1266年，即大诗人但丁降生佛罗伦萨的第二年，这座城市又诞生了那个世纪最杰出的艺术家乔托。意大利人一般认为, 艺术史上最伟大的时代, 就是从他开始的。而按照英国艺术史家贡布里奇爵士的说法，在乔托以前, 人们看待艺术家就像看待一个出色的木匠或裁缝一样，他们甚至经常不在自己的作品上署名；而在乔托以后, 艺术史就成了艺术家的历史。
相比之下，数学家要幸运得多，第一个留名的数学家是古希腊的泰勒斯（约公元前625-前547），他生活的年代比乔托早了将近19个世纪。泰勒斯出生在爱琴海东岸小亚细亚的米利都城（今天土耳其亚洲部分西海岸），它是爱奥尼亚12个城邦之一。爱奥尼亚原本是希腊一个分散的部落，移民到小亚细亚后才形成一个共同体，那个地区也因此被称作爱奥尼亚，他依靠贸易富强起来，进而成为联盟。
泰勒斯被誉为前苏格拉底时代的“希腊七贤”之首，其余六位分别是雅典的梭伦（Solon）、斯巴达的开伦（Chilon）、罗德岛的克里奥布拉斯（Cleobulus）、科林斯的佩立安得（Periander）、累斯博斯的庇达克斯（Pittacus）和同属小亚细亚的拜阿斯（Bias）。由于年代久远，加上当时人们的思想只能口头传播，除了泰勒斯和梭伦以外，其余五位贤人的生平事迹皆不可考。我们只知道他们都是政治家和统治者，每位只有一两句格言流传下来。
例如，拜阿斯的名言是：“人多手脚乱”，佩立安得的名言是：“行事前须三思”，庇达克斯的名言是：“抓住时机”，克里奥布拉斯的名言是：“凡事中庸”。“凡事中庸”与梭伦的名言“避免极端”一样，与中国儒家思想有相近之处；而佩立安得的名言接近我国的成语“三思而后行”，后者最初说的是鲁国大夫季文子，可是，连孔子都不赞成他的患得患失。泰勒斯和梭伦有许多格言流传后世，我特别欣赏的是泰勒斯的“认识你自己”和梭伦的“言语是行动的镜子”。
米利都是当时希腊在东方最大的城市，米利都原本是克里特的一个地区名。可见，居民大多是来自克里特岛的移民。在米利都，商人统治代替了氏族贵族政治，因而思想较为自由和开放，产生了多位文学、艺术、科学和哲学领域的著名人物，盲诗人荷马和后来的历史学家希罗多德就来自爱奥尼亚。据说泰勒斯早年也经商，曾游历埃及和巴比伦，学会并掌握了数学和天文学知识，他本人后来的研究除了这两个领域以外，还涉及物理学、工程和哲学。
“希腊七贤”中，唯有泰勒斯是知识渊博的学者。泰勒斯创立了米利都学派，企图摆脱宗教，通过自然现象去寻求真理。他认为处处有生命和运动，并以水为万物的本源。这里我们讲述一则与水有关的轶事，青年时期泰勒斯趁从商之际，广泛接触社会。一次，他用骡子运盐，一头骡子滑到在溪流中，盐被溶解了一部分，负担顿时减轻了许多，于是骡子每过一次溪就打一个滚。泰勒斯为了改变这头畜生的恶习，让它驮上海绵，结果吸水之后，重量倍增，从此这头骡子再也不敢故伎重演了。
米利都的泰勒斯像
据说泰勒斯在埃及时，就熟练掌握了数学技巧，他曾利用日影和杆高的比例关系算出金字塔的高度。有一则广为传颂的故事，在一个艳阳天，泰勒斯在地上垂直插了一根杆子。等到杆子的影子与杆子的高度（也有记载是身高与人影）等长时，他测量了金字塔影子的长度，此长度即为金字塔的高度。不过，由于金字塔的底部较大，不是一个点，故而只在特殊的日光角度才能测准。这个故事的升级版是，泰勒斯在金字塔影子的端点竖立一根杆子，借助太阳光的投影，构成两个相似三角形，塔高与杆高之比等于两者影长之比。
2哲人眼里的泰勒斯
虽说泰勒斯已留名青史，但有关他的生平我们仍知之甚少。幸运的是，有几位后世哲学家和作家的著作里，提到他的一些轶事。从中，我们可以了解到他的为人和气质。或许，这是最早的数学故事。遗憾的是，虽说古代中国也出现了一些著名的数学家，却没有形成这样的文化氛围，人文学者极少关心科学家的工作。少数的例外是，庄子在《天下篇》记载过名家惠子阐述的无穷概念，《周髀算经》里也写到周公与大夫商高谈论勾股数。
柏拉图既是哲学家，也是数学家，据说他创办的学园门口写着，“不懂几何学的请勿入内”，而在学园的后门又写着，“懂哲学者方可治国”。《泰阿泰德篇》是柏拉图的一篇重要作品，泰阿泰德（Theaetetus，约前417-前369）是苏格拉底的学生、柏拉图的师兄，在老师去世时与柏拉图同在现场。他是数学家兼哲学家、立体几何的创立者，是《泰阿泰德篇》（还有柏拉图另一部著作《智者篇》）的主要对话者。
柏拉图在此篇探讨了“知识”的本性，可看作是对老师和师兄的一种纪念。关于“什么是知识”，苏格拉底告诉年轻的泰阿泰德三个答案，分别是“感觉”、“信念”和“信念附加上说理”，但最终都被他否定了，因为对于求知者来说，最重要的在于过程。书中记述了泰勒斯的一桩轶事，有一次他仰观天象，不小心跌进旁边的沟渠，一位长相秀美的色雷斯女仆嘲笑他说，“近在足前您都看不见，怎么会知道天上的事情呢？”对此泰勒斯并未回应，倒是雅典执政官梭伦的发问刺痛了他。
泰勒斯可能是许许多多终身独居的智者中的第一人。据一世纪古罗马传记作家普鲁塔克记载（此时离开泰勒斯辞世已经六个多世纪了），有一次，比泰勒斯年长十四岁的梭伦到米利都，探望了泰勒斯。梭伦是一位政治家、改革家、立法者，公元前594年出任雅典城邦的第一任执政官。此外，他还是一位成功的商人，喜欢游历名山大川，考察社会风情，甚至在诗歌创作方面也颇有成就，有“雅典第一位诗人”的美誉。虽然梭伦的诗歌主要赞颂雅典城邦和法律，但他也会抨击、谴责贵族的贪婪、专横和残暴，坚信道德胜于财富。
美国众议院内的梭伦像
例如，梭伦曾在诗中写道：“作恶的人每每致富，而好人往往受穷；可是我们不愿意，把道德与财富交换；因为道德是永存的，而财富每天更换主人。”由此可见，梭伦是一个很有个性的人。泰勒斯有一句格言，“过分稳健只会带来灾难”，这与梭伦的格言“避免极端”颇为矛盾。果然，说着说着两人之间起了微小的波澜，梭伦问泰勒斯为何到现在还不结婚，泰勒斯听了显然不悦，未予回答。
几天以后，情感丰富，喜欢作诗和旅行的梭伦得到消息，有位不幸死于雅典的年轻人可能是他儿子，这令他悲痛欲绝。这时泰勒斯笑着出现了，在告之消息纯属虚构以后，声明自己不愿娶妻生子的原因，就是害怕面对失去亲人的痛苦。据说泰勒斯中年时，母亲催促过他成婚，答曰，“还没到那个时候。”后来步入晚年，老母亲又催婚，答曰，“现在已过了那个时候。”
前文提到布鲁塔克，他的著作在文艺复兴时期很受欢迎，法国作家蒙田对他推崇备至，莎士比亚不少剧作也取材于他的著作。每次记载以后，他还有评述，例如针对泰勒斯的婚姻观，他这样写道，“如果由于害怕失掉就不去获得必需的东西，这既不合理，也不足贵……无论如何，我们决不可用贫穷来防止丧失财产，用离群索居来防止失掉朋友，用不育子嗣来防止儿女夭折；应该以理性来对付一切不幸。”
关于泰勒斯，柏拉图的弟子、比泰勒斯晚近三个世纪的哲学家亚里士多德在他的著作《形而上学》中也讲过一则故事。有一次，泰勒斯依据他掌握的农业知识和气象资料，预见到翌年橄榄必将获得大丰收，于是集资提前低价租借了该地区所有的榨油机，后来果然如他所料，榨油机供不应求。于是他便高价出租，结果获得巨额财富。他这样做并不是想成为富翁，而是想回答有些人对他的讥讽：如果你真聪明的话，为什么不发财呢？同时他也告诫人们，知识胜于财富。
而泰勒斯与梭伦之间的交往，则可能是有史以来数学家与政治家、数学家与诗人之间最早的友谊。
3多才多艺的泰勒斯
第一个留名的数学史家欧德莫斯（Eudemus of Rhodes,约前4世纪下半叶）是亚里士多德的得意门生，编写有算术史、几何史和天文学史方面的著作，可惜均已失传，他还与人合编过恩师亚里士多德的全集。幸而普罗克洛斯（Proclus,410-485）在为《几何原本》作注时写下《欧德莫斯概要》，主要取材于欧德莫斯的《几何学史》。欧德莫斯在书中写道，“……（泰勒斯）将几何学研究（从埃及）引入希腊，他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理。”
普罗克洛斯是柏拉图学园导师、最后一任园长，他有一句名言是，“哪里有数，哪里就有美”。正是由于他的记载，我们才知道，泰勒斯证明了包括泰勒斯定理在内平面几何中的五个定理，它们均被收入现今中学的《数学》教科书。泰勒斯证明了：“圆的直径将圆分成两个相等的部分；等腰三角形的两底角相等；两条相交直线形成的对顶角相等；如果两个三角形有两角、一边对应相等，那么这两个三角形全等。”
当然，泰勒斯最有价值的数学工作是如今被称作“泰勒斯定理”的命题：“半圆上的圆周角是直角。”众所周知，“泰勒斯定理”是数学史上第一个以数学家名字命名的定理。欧几里得在《几何原本》中，将其列为第三卷命题31。所谓圆周角是指顶点在圆上，两条边与圆的交点处于一条直线的两端。其证明利用了平行公设的等价形式，即三角形的三个内角和为180度。具体如下：
设直径AC把圆等分，圆周角顶点为B，要证角ABC为直角。连接圆心0与B点，由等腰三角形两底角相等可知，角A 等于角ABO，角C等于角CBO，于是角A加角C等于角ABC。再由于三角形内角和为180度，故角ABC是90度，即为直角。
在数学以外，泰勒斯也成就非凡。他有一句名言，“水是最好的”，他认为，阳光蒸发水分，雾气从水面上升而形成云，云又转化为雨，因此断言水是万物的本质。值得一提的是，泰勒斯把金属也归于“水”的范畴，大概因为它能熔化。他还认为，地球是浮在水面的圆盘，地震是地球借水的漂移发生的震动。虽然此观点后来被证明有误，但他敢于揭露大自然的本来面目，并建立起自己的思想体系（他还认定地球是个圆盘，漂浮在水面上），因此被公认为是希腊哲学的鼻祖。
事实上，泰勒斯第一个提出了“什么是万物本源”这个哲学问题，并尝试给予回答的人。泰勒斯首创理性主义精神、唯物主义传统和普遍性原则，在神学方面他是个多神论者，认为世间充斥各种神灵。虽然如此，他还是从自然界本身去寻求原因，而不是从人形的诸神那难以捉摸的性格去寻求原因，去解释世界。这是泰勒斯的重要性之所在。晚年泰勒斯招收学生，创立了米利都学派。
在物理学方面，琥珀摩擦产生静电的发现也归功于泰勒斯。他对天文学颇有研究，曾估量太阳和月球的大小，并确认了小熊星座，指出其有助于航海事业，并首次将一年的长度确定为365天。在柏拉图出生两年前去世的希罗多德享有“历史之父”美誉，他的著作《历史》是西方第一部完好流传下来的散文作品，因此也被认为是西方文学的奠基人、人文主义的杰出代表。
希罗多德《历史》的拉丁文版（1494，威尼斯）
希罗多德书中记叙了泰勒斯曾准确地预测过公元前585年的日食，使得战争停止。战斗双方是吕底亚的阿丽亚特斯和米地亚的基亚克萨里斯，连续五年未见胜负，造成生灵涂炭、横尸遍野。泰勒斯预先测算有日食发生，便扬言上苍反对战争，必用日食警告。结果两军酣战之际，白昼顿成黑夜，将士因而十分惊恐，他们想起泰勒斯的敬告，于是停战和好。那是西方有明确记载的最早的日食，确切日期是5月28日。
至于泰勒斯所用的方法，后世学者认为可能是古代巴比伦人发现的沙罗周期（Saros）*。也有现代学者认为，泰勒斯的年代尚不具备精确预言一次日食地点和时间的知识。欧德莫斯相信，泰勒斯已经知道按春分、夏至、秋分和冬至来划分的四季是不等长的。
*沙罗周期是天文学术语，为日食和月食的周期，长度约6585.32天，相当于18年又10.3或11.3日（视期间有5个还是4个闰年）。在每个沙罗周期内，约有43次日食和28次月食。
4泰勒斯的学生和遗产
比“泰勒斯定理”更为重要的是，泰勒斯引入了命题证明的思想。泰勒斯开启了数学命题证明的先河，这标志着人类对客观事物的认识从感性上升到了理性。这是数学史上一次非同寻常的飞跃，几个世纪以后被欧几里得在写作《几何原本》时发扬光大。不仅如此，泰勒斯的证明还借助了一些公理或真实性已经得到确认的命题。虽然没有原始文献可以证实泰勒斯取得所有这些成就，但以上记载流传至今，使得他获得了第一个数学家和论证几何学鼻祖的美名。
泰勒斯平常谈吐幽默，且富有哲理。他对于“怎样过正直的生活？”的回答是：“不
要做你讨厌别人做的事情。”这与孔子在《论语·颜渊》中的“己所不欲，勿施于人”异曲同工。当有人问，“你见过的最奇怪的事情是什么？”泰勒斯回答，“长寿的暴君”。又“当你做出一个发现时，想得到些什么？”从未获得任何奖赏的他答道，“当你在告诉别人时，不说是你的发现，而说是我的发现，这就是对你的最高奖赏。”
泰勒斯的学说和思想有着巨大的影响力，他开创性地对世界进行了理性的探索，成为第一个名副其实的数学家和科学家。在他的带动之下，希腊人摆脱了神的束缚，开始自觉地探索数、形乃至宇宙的奥秘，揭露大自然的本来秘密。经过数个世纪的努力，数学从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演绎的学说，最终导致了希腊科学、艺术和哲学的繁荣，继而影响到欧洲和整个世界。
在泰勒斯的学生中间，以阿那克西曼德和阿那克西米尼最有成就。阿那克西曼德（Anaximander，约前610-前545）出生于米利都，曾在黑海附近的殖民地担任过领袖。他认为世界不是由水组成的，而是由特殊的不为我们熟知的某种基本形式组成的（构成土、气、水、火四种元素的某种实体）。这一实体在运动中分裂出冷和热、干和湿等对立面，从而产生万物。 世界从它产生，又复归于它。他是第一位以散文写下观念的哲学家，而不是像荷马或赫西奥德（Hesiod）那样用诗歌形式。
阿那克西曼德创造出一种归谬法，并由此推断出人是由海鱼演化而来的，高级动物是由低级动物演化来的。他提出一种重要的宇宙观，即地球是宇宙的中心（一个自由浮动的圆柱体），太阳、月亮和星星都是围绕着地球呈环状排列。在哥白尼的学说出现之前，这个宇宙观延续了两千多年。据说阿那克西曼德擅长表演，服装和言谈极具戏剧性，曾率领使节团到斯巴达，并在那里展示了他的两项伟大发明——日晷和（人类绘制的第一幅）世界地图。遗憾的是，他的著作《论自然》已佚失。
阿那克西米尼（Anaximenes，约前586-前526）的观点又有所不同，他认为世界是由空气组成的，空气的凝聚和疏散产生了各种不同的物质形式。与两位米利都学派前辈一样，他的哲学也是一元论，埃及人和巴比伦人利用神灵来解释世界的形成和本质，他们则是做了自然主义的阐释。阿那克西米尼作了这样的设想：气体是一种万能的东西，他能自己自发的进入我们的灵魂，从而达到控制身躯的目的。
据说阿那克西米尼有过上千个门徒，有一次他上课时，他要求学生们放下笔记本认真听课，答应课后发讲义给大家，结果他只给了一张白纸，让大家把听到的写在纸上，只有路过旁听的毕达哥拉斯记全了。这个故事真假难辨，但却富有哲理，涉及教师或管理者的艺术，就是让学生或员工对自己负责，学会和掌握重要的实用技能。阿那克西曼德曾经这样表述：无尽的磨难是自然的一种原料。阿那克西米尼举例予以支持——羊毛被压缩，因为它要被做成垫毯。
此外，历史学家、作家和旅行家赫卡泰奥斯（Hecataeus，约公元前550-前476）也被有的学者划到泰勒斯门下。赫卡泰奥斯不仅用优美简洁的文笔写出了最早的游记（他在波斯帝国有广泛的游历），同时也是地理学和人种学的先驱，他有一句名言流传后世：“埃及是尼罗河的礼物”。但从他的生年和泰勒斯的卒年来看，还不能够成为后者的学生。无论如何，赫卡泰奥斯是波斯统治下的米利都人，他是有记载的古希腊第一个历史学家。在他去世前不久出生的希罗多德也曾模仿他说过：“几何学是尼罗河的礼物。”
2022年，杭州西溪
本文经授权节选自蔡天新：数学传奇（商务印书馆，2022年11月）
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